Egzamin ósmoklasisty 2024

Ala codziennie uczyła się języka hiszpańskiego. Na diagramie przedstawiono, ile minut poświęciła na naukę w kolejnych dniach od poniedziałku do soboty.
Zdanie 1: od poniedziałku do czwartku Ala uczyła się łącznie 2 godziny i 10 minut.
Zdanie 2: w sobotę Ala uczyła się o 40% krócej niż w piątek.

Które zdania są prawdziwe?

Do wyboru:

• A.oba zdania
• B.tylko zdanie 1
• C.tylko zdanie 2
• D.żadne

Pokaż rozwiązanie

1. Z diagramu: poniedziałek 25 min, wtorek 30 min, środa 40 min, czwartek 35 min.
2. 25 + 30 + 40 + 35 = 130 min, czyli 2 godziny i 10 minut — zdanie 1 jest prawdziwe.
3. W piątek 50 min, w sobotę 30 min, czyli 50 − 30 = 20 min mniej.
4. 20 minut z 50 to 20/50 = 40/100 = 40% — zdanie 2 też jest prawdziwe.

Odpowiedź: oba zdania

Wypisano wszystkie ułamki, które jednocześnie:
• mają mianownik równy 4,
• mają licznik będący liczbą naturalną większą od mianownika,
• są większe od 3 i mniejsze od 5.

Ile jest takich ułamków?

Do wyboru:

• A.6
• B.7
• C.8
• D.9

Pokaż rozwiązanie

1. 3 = 12/4, a 5 = 20/4.
2. Liczniki muszą być większe od 12 i mniejsze od 20: 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19.
3. Takich ułamków jest 7.

Odpowiedź: 7

Średnia arytmetyczna trzech liczb: 12, 14 i n jest równa 16.
Zdanie 1: liczba n jest równa 22.
Zdanie 2: średnia arytmetyczna liczb 12, 14, n, 11, 17 jest większa od 16.

Które zdania są prawdziwe?

Do wyboru:

• A.oba zdania
• B.tylko zdanie 1
• C.tylko zdanie 2
• D.żadne

Pokaż rozwiązanie

1. Suma trzech liczb to 3 · 16 = 48, więc n = 48 − 12 − 14 = 22 — zdanie 1 jest prawdziwe.
2. Suma pięciu liczb: 12 + 14 + 22 + 11 + 17 = 76.
3. Średnia: 76 : 5 = 15,2, a to mniej niż 16 — zdanie 2 jest fałszywe.

Odpowiedź: tylko zdanie 1

Dane są dwie liczby:
x = 4/5 · (−4/3)
y = 4/5 + (−4/3)

Które zdanie jest prawdziwe?

Do wyboru:

• A.y < 0 i x < y
• B.y < 0 i x > y
• C.y > 0 i x < y
• D.y > 0 i x > y

Pokaż rozwiązanie

1. x = 4/5 · (−4/3) = −16/15.
2. y = 4/5 + (−4/3) = 12/15 − 20/15 = −8/15, więc y jest ujemna.
3. −16/15 jest mniejsze od −8/15, więc x jest mniejsza od y.

Odpowiedź: y < 0 i x < y

W trapezie ABCD bok AB jest równoległy do boku DC. Odcinek EC jest równoległy do boku AD. Na rysunku podano miary dwóch kątów i zaznaczono kąt α. Jaką miarę ma kąt α?

Do wyboru:

• A.20°
• B.45°
• C.50°
• D.55°

Pokaż rozwiązanie

1. AB ∥ DC, więc kąty przy ramieniu AD dają razem 180°: kąt DAB ma 180° − 135° = 45°.
2. EC ∥ AD, więc kąt CEB też ma 45°.
3. W trójkącie EBC: α = 180° − 45° − 80° = 55°.

Odpowiedź: 55°

Dane jest równanie 5x = y/w, gdzie x, y, w są różne od 0. Paweł przekształcił je na trzy sposoby:
I. x = y/(5w)
II. y = 5x/w
III. w = y/(5x)

Które z tych przekształceń są poprawne?

Do wyboru:

• A.I i II
• B.II i III
• C.I i III
• D.I, II i III

Pokaż rozwiązanie

1. Dzielimy obie strony przez 5: x = y/(5w), więc I jest poprawne.
2. Mnożymy obie strony przez w: y = 5xw, a nie 5x/w, więc II jest błędne.
3. Z y = 5xw dzielimy obie strony przez 5x: w = y/(5x), więc III jest poprawne.

Odpowiedź: I i III

Zdanie 1: iloczyn 3 · 9⁵ jest równy 3¹¹.
Zdanie 2: wyrażenie (2⁸ · 2⁷) : 2¹⁰ można zapisać w postaci 2⁵.

Które zdania są prawdziwe?

Do wyboru:

• A.oba zdania
• B.tylko zdanie 1
• C.tylko zdanie 2
• D.żadne

Pokaż rozwiązanie

1. 9 = 3², więc 9⁵ = 3¹⁰, a 3 · 3¹⁰ = 3¹¹ — zdanie 1 jest prawdziwe.
2. 2⁸ · 2⁷ = 2¹⁵, a 2¹⁵ : 2¹⁰ = 2⁵ — zdanie 2 też jest prawdziwe.

Odpowiedź: oba zdania

Karolina kupiła pudełko balonów. W tabeli podano, ile balonów każdego koloru było w pudełku. Karolina wyjmowała balony losowo po jednym. Dwa pierwsze były czerwone. Jakie jest prawdopodobieństwo, że trzeci wyjęty balon też będzie czerwony?

Do wyboru:

• A.1/3
• B.5/16
• C.4/15
• D.1/4

Pokaż rozwiązanie

1. W pudełku było 10 + 8 + 6 + 8 = 32 balony.
2. Po wyjęciu dwóch czerwonych zostało 30 balonów, w tym 8 czerwonych.
3. Prawdopodobieństwo: 8/30 = 4/15.

Odpowiedź: 4/15

Do jakiej postaci można przekształcić wyrażenie x(x + 4) − 3(2x − 5)?

Do wyboru:

• A.x² + 2x − 5
• B.x² − 2x + 5
• C.x² + 2x − 15
• D.x² − 2x + 15

Pokaż rozwiązanie

1. x(x + 4) = x² + 4x.
2. −3(2x − 5) = −6x + 15, bo minus razy minus daje plus.
3. Razem: x² + 4x − 6x + 15 = x² − 2x + 15.

Odpowiedź: x² − 2x + 15

Podróż pociągiem z Olsztyna do Gdyni planowo trwa 2 godziny i 54 minuty. Pewnego dnia pociąg wyjechał z Olsztyna punktualnie, ale przyjechał do Gdyni z czterominutowym opóźnieniem, o godzinie 17:31.

O której godzinie pociąg wyjechał z Olsztyna?

Do wyboru:

• A.14:27
• B.14:31
• C.14:33
• D.14:41

Pokaż rozwiązanie

1. Bez opóźnienia pociąg przyjechałby 4 minuty wcześniej, o 17:27.
2. 17:27 cofamy o 2 godziny i jesteśmy na 15:27, a potem o 54 minuty — wychodzi 14:33.

Odpowiedź: 14:33

Na wykresie przedstawiono, jak pole pomalowanej powierzchni zależy od ilości zużytej farby. Pole jest wprost proporcjonalne do ilości farby.
Zdanie 1: 18 litrów tej farby wystarczy na pomalowanie 180 m² powierzchni.
Zdanie 2: na pomalowanie 125 m² powierzchni wystarczy 12 litrów tej farby.

Które zdania są prawdziwe?

Do wyboru:

• A.oba zdania
• B.tylko zdanie 1
• C.tylko zdanie 2
• D.żadne

Pokaż rozwiązanie

1. Z wykresu: 5 litrów wystarcza na 50 m², czyli 1 litr na 10 m².
2. 18 litrów wystarczy na 18 · 10 = 180 m² — zdanie 1 jest prawdziwe.
3. 12 litrów wystarczy tylko na 12 · 10 = 120 m², a to mniej niż 125 m² — zdanie 2 jest fałszywe.

Odpowiedź: tylko zdanie 1

W układzie współrzędnych zaznaczono pięć punktów o współrzędnych całkowitych. Punkt P₁ ma współrzędne (−1, −2). Jeżeli współrzędną x punktu P₁ zwiększymy o 4, a współrzędną y zwiększymy o 3, to otrzymamy współrzędne którego punktu?

Do wyboru:

• A.P₂
• B.P₃
• C.P₄
• D.P₅

Pokaż rozwiązanie

1. Nowa współrzędna x: −1 + 4 = 3.
2. Nowa współrzędna y: −2 + 3 = 1.
3. Punkt (3, 1) to na rysunku punkt P₂.

Odpowiedź: P₂

Na rysunku przedstawiono prostokąt o bokach długości a i b podzielony na sześć kwadratów. Jaki jest stosunek długości boków a : b tego prostokąta?

Do wyboru:

• A.6 : 5
• B.5 : 4
• C.4 : 3
• D.3 : 2

Pokaż rozwiązanie

1. Niech bok najmniejszego kwadratu ma długość 1.
2. Trzy małe kwadraty mają razem szerokość 3, więc duży kwadrat nad nimi ma bok 3, a b = 3 + 1 = 4.
3. Dwa kwadraty po lewej mają razem wysokość 4, więc każdy ma bok 2, a a = 2 + 3 = 5.
4. Zatem stosunek a do b to 5 do 4.

Odpowiedź: 5 : 4

W trójkącie prostokątnym ABC przyprostokątną AC wydłużono o 7 cm, a przyprostokątną AB o 12 cm. Otrzymano trójkąt prostokątny równoramienny ADE o polu 200 cm².
Zdanie 1: przyprostokątna trójkąta ADE ma długość 20 cm.
Zdanie 2: pole trójkąta ABC jest równe 52 cm².

Które zdania są prawdziwe?

Do wyboru:

• A.oba zdania
• B.tylko zdanie 1
• C.tylko zdanie 2
• D.żadne

Pokaż rozwiązanie

1. Pole trójkąta ADE to połowa kwadratu przyprostokątnej, więc kwadrat przyprostokątnej to 2 · 200 = 400, a przyprostokątna ma 20 cm — zdanie 1 jest prawdziwe.
2. AC = 20 − 7 = 13 cm, a AB = 20 − 12 = 8 cm.
3. Pole trójkąta ABC: 1/2 · 13 · 8 = 52 cm² — zdanie 2 też jest prawdziwe.

Odpowiedź: oba zdania

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny. Pole jego powierzchni całkowitej jest równe P, a jedna ściana boczna ma pole równe 2/9 P. Ile wynosi pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa?

Do wyboru:

• A.2/9 P
• B.4/9 P
• C.6/9 P
• D.8/9 P

Pokaż rozwiązanie

1. Ostrosłup czworokątny ma 4 jednakowe ściany boczne.
2. Pole boczne to 4 razy 2/9 P, czyli 8/9 P.

Odpowiedź: 8/9 P

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny. Pole jego powierzchni całkowitej jest równe P, a jedna ściana boczna ma pole równe 2/9 P. Jak pole podstawy ma się do pola jednej ściany bocznej?

Do wyboru:

• A.jest 2 razy mniejsze
• B.jest 2 razy większe
• C.jest 4 razy mniejsze
• D.jest takie samo

Pokaż rozwiązanie

1. Cztery ściany boczne mają razem 8/9 P.
2. Na podstawę zostaje 1/9 P, bo cała powierzchnia to 9/9 P.
3. Ściana boczna ma 2/9 P, a 2/9 : 1/9 = 2, więc podstawa jest 2 razy mniejsza od ściany.

Odpowiedź: jest 2 razy mniejsze

Ela i Ania dostały po jednym zestawie puzzli o takiej samej liczbie elementów. Ela ułożyła 2/5 swoich puzzli, a Ania 1/3 swoich. Razem ułożyły 440 elementów.

Z ilu elementów składa się jeden zestaw puzzli?

Do wyboru:

• A.330
• B.600
• C.660
• D.1100

Pokaż rozwiązanie

1. Razem ułożyły 2/5 + 1/3 = 6/15 + 5/15 = 11/15 zestawu.
2. 11/15 zestawu to 440 elementów, więc 1/15 to 440 : 11 = 40 elementów.
3. Cały zestaw: 15 · 40 = 600 elementów.

Odpowiedź: 600

Prostokąt ABCD podzielono na trzy trójkąty: AED, ACE i ABC. Na rysunku podano długości dwóch boków trójkąta AED: DE = 15 cm i AD = 20 cm. Zaznaczono też dwa kąty trójkąta ACE o takiej samej mierze α.

Ile centymetrów kwadratowych ma pole trapezu ABCE?

Do wyboru:

• A.500 cm²
• B.650 cm²
• C.800 cm²
• D.1300 cm²

Pokaż rozwiązanie

1. Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie AED: AE² = 15² + 20² = 225 + 400 = 625, więc AE = 25 cm.
2. Kąty przy A i C w trójkącie ACE są równe, więc jest on równoramienny i EC = AE = 25 cm.
3. Podstawa AB = DC = 15 + 25 = 40 cm.
4. Pole trapezu: (40 + 25) : 2 · 20 = 650 cm².

Odpowiedź: 650 cm²

Pan Jan sprzedał w swoim sklepie 120 kg truskawek. Połowę masy sprzedał w dużych opakowaniach, 10% w średnich, a resztę w małych. W tabeli podano masę i cenę każdego opakowania.

Ile złotych otrzymał pan Jan ze sprzedaży wszystkich truskawek?

Do wyboru:

• A.1080 zł
• B.2160 zł
• C.2400 zł
• D.2472 zł

Pokaż rozwiązanie

1. Duże: 120 : 2 = 60 kg, czyli 60 opakowań po 18 zł: 60 · 18 = 1080 zł.
2. Średnie: 10% ze 120 kg to 12 kg, czyli 24 opakowania po 10 zł: 24 · 10 = 240 zł.
3. Małe: 120 − 60 − 12 = 48 kg, czyli 192 opakowania po 6 zł: 192 · 6 = 1152 zł.
4. Razem: 1080 + 240 + 1152 = 2472 zł.

Odpowiedź: 2472 zł

Z trzech jednakowych klocków w kształcie sześcianu i jednego klocka w kształcie ostrosłupa prawidłowego czworokątnego zbudowano dwie wieże. Krawędź sześcianu ma 10 cm. Krawędź podstawy ostrosłupa ma 9 cm, a jego objętość jest równa 324 cm³.

O ile centymetrów jedna wieża jest wyższa od drugiej?

Do wyboru:

• A.2 cm
• B.4 cm
• C.10 cm
• D.12 cm

Pokaż rozwiązanie

1. Objętość ostrosłupa to 1/3 pola podstawy razy wysokość: pole podstawy 9 · 9 = 81 cm², więc wysokość to 324 · 3 : 81 = 12 cm.
2. Wieża I: 10 + 12 = 22 cm, wieża II: 2 · 10 = 20 cm.
3. Różnica: 22 − 20 = 2 cm.

Odpowiedź: 2 cm