Próbny egzamin ósmoklasisty 2020

Rowerzysta pokonał trasę rajdu w ciągu czterech dni: w poniedziałek 26 km, we wtorek 27 km, w środę 21 km, a w czwartek 31 km.
W poniedziałek i wtorek przejechał łącznie … długości trasy, a w środę … długości trasy.

Jak uzupełnić to zdanie?

Do wyboru:

• A.więcej niż 50%; 1/5
• B.więcej niż 50%; 1/4
• C.mniej niż 50%; 1/5
• D.mniej niż 50%; 1/4

Pokaż rozwiązanie

1. Cała trasa: 26 + 27 + 21 + 31 = 105 km.
2. Poniedziałek i wtorek: 26 + 27 = 53 km, a połowa trasy to 105 : 2 = 52,5 km — więc więcej niż 50%.
3. Środa: 21/105 = 1/5 trasy.

Odpowiedź: więcej niż 50%; 1/5

Ile jest równa wartość wyrażenia 5/7 − 2/7 · (−3/2)?

Do wyboru:

• A.−15/14
• B.−9/14
• C.2/7
• D.8/7

Pokaż rozwiązanie

1. Najpierw mnożenie: 2/7 · (−3/2) = −6/14 = −3/7.
2. 5/7 − (−3/7) = 5/7 + 3/7 = 8/7.

Odpowiedź: 8/7

Trzej właściciele firmy, Adam, Janusz i Oskar, kupili samochód dostawczy za 154 000 zł. Kwoty wpłacone przez Adama, Janusza i Oskara są odpowiednio w stosunku 2:3:6.

Ile złotych wpłacił Janusz?

Do wyboru:

• A.14000 zł
• B.28000 zł
• C.42000 zł
• D.84000 zł

Pokaż rozwiązanie

1. Razem jest 2 + 3 + 6 = 11 części.
2. Jedna część: 154 000 : 11 = 14 000 zł.
3. Janusz wpłacił 3 części: 3 · 14 000 = 42 000 zł.

Odpowiedź: 42000 zł

Na fragmencie osi liczbowej oznaczono punkty R, S, T, W. Współrzędne punktów S i W to 287 i 311. Odcinek RW jest podzielony na pięć równych części.
Zdanie 1: współrzędne punktów R i T różnią się o 24.
Zdanie 2: współrzędna punktu R jest równa 271.

Które zdania są prawdziwe?

Do wyboru:

• A.oba zdania
• B.tylko zdanie 1
• C.tylko zdanie 2
• D.żadne

Pokaż rozwiązanie

1. Od S do W są 3 części, a 311 − 287 = 24, więc jedna część to 24 : 3 = 8.
2. R leży 2 części przed S: 287 − 2 · 8 = 271 — zdanie 2 jest prawdziwe.
3. T leży 1 część za S: 287 + 8 = 295, a 295 − 271 = 24 — zdanie 1 też jest prawdziwe.

Odpowiedź: oba zdania

Pociąg o długości 150 m przejechał przez tunel o długości 350 m ze stałą prędkością 20 m/s.

Ile sekund minęło od wjazdu czoła pociągu do tunelu do wyjazdu z tunelu końca ostatniego wagonu?

Do wyboru:

• A.7,5 s
• B.17,5 s
• C.25 s
• D.36 s

Pokaż rozwiązanie

1. Czoło pociągu przejeżdża cały tunel, a potem z tunelu musi wyjechać jeszcze cały pociąg: 350 + 150 = 500 m.
2. Czas: 500 : 20 = 25 s.

Odpowiedź: 25 s

Ile jest równa wartość wyrażenia √3 · (√27 − √12)?

Do wyboru:

• A.√3
• B.3
• C.√45
• D.√69

Pokaż rozwiązanie

1. √3 · √27 = √81 = 9, a √3 · √12 = √36 = 6.
2. 9 − 6 = 3.

Odpowiedź: 3

Która z podanych liczb nie jest równa 3¹⁵?

Do wyboru:

• A.3 · 3¹⁴
• B.3⁹ · 3⁶
• C.3¹⁷ : 9
• D.(3⁵)³
• E.9¹⁵ : 3

Pokaż rozwiązanie

1. 3 · 3¹⁴ = 3¹⁵, 3⁹ · 3⁶ = 3¹⁵, a 3¹⁷ : 9 = 3¹⁷ : 3² = 3¹⁵.
2. (3⁵)³ też daje 3¹⁵, bo 5 · 3 = 15.
3. 9¹⁵ = 3³⁰, więc 9¹⁵ : 3 = 3²⁹ — to nie jest 3¹⁵.

Odpowiedź: 9¹⁵ : 3

Na diagramie przedstawiono wyniki (w centymetrach) uzyskane przez zawodników w finale konkursu skoku wzwyż. Ilu zawodników uzyskało wynik wyższy od średniej arytmetycznej wyników wszystkich uczestników finału?

Do wyboru:

• A.2
• B.3
• C.4
• D.5

Pokaż rozwiązanie

1. Wyniki: 200, 205, 202, 206, 208, 198 i 202 cm.
2. Średnia: (200 + 205 + 202 + 206 + 208 + 198 + 202) : 7 = 1421 : 7 = 203 cm.
3. Wyżej niż 203 cm skoczyli zawodnicy z wynikami 205, 206 i 208 — to 3 osoby.

Odpowiedź: 3

Na kartonowej siatce sześcianu Mariusz nakleił 6 figur tak, jak na rysunku u góry, a potem skleił z niej kostkę. Który rysunek A–D przedstawia tę kostkę?

Do wyboru:

• A.A
• B.B
• C.C
• D.D

Pokaż rozwiązanie

1. Na siatce przeciwległe ściany to: zamalowany trójkąt i zamalowany kwadrat, zamalowane koło i pusty trójkąt, puste koło i pusty kwadrat.
2. Dwóch przeciwległych ścian nie widać naraz. Na A i D są jednocześnie puste koło i pusty kwadrat, a na B zamalowane koło i pusty trójkąt.
3. Zostaje kostka C.

Odpowiedź: C

Pole trapezu wyraża się wzorem P = (x + y) · h/2, gdzie x i y to długości podstaw, a h to wysokość trapezu. Które równanie poprawnie wyznacza x z tego wzoru?

Do wyboru:

• A.x = P/2 − hy
• B.x = P/(2h) − y
• C.x = 2P − hy
• D.x = 2P/h − y

Pokaż rozwiązanie

1. Mnożymy obie strony przez 2: 2P = (x + y) · h.
2. Dzielimy obie strony przez h: 2P/h = x + y.
3. Odejmujemy y: x = 2P/h − y.

Odpowiedź: x = 2P/h − y

Kąt ostry rombu ma miarę 60°, a bok tego rombu ma długość 4 cm.
Zdanie 1: krótsza przekątna dzieli ten romb na dwa trójkąty równoboczne.
Zdanie 2: pole tego rombu jest równe 8√3 cm².

Które zdania są prawdziwe?

Do wyboru:

• A.oba zdania
• B.tylko zdanie 1
• C.tylko zdanie 2
• D.żadne

Pokaż rozwiązanie

1. Krótsza przekątna odcina trójkąt z kątem 60° między dwoma bokami po 4 cm — taki trójkąt jest równoboczny, więc zdanie 1 jest prawdziwe.
2. Pole trójkąta równobocznego o boku 4 cm to 4² · √3 : 4, czyli 4√3 cm².
3. Romb to dwa takie trójkąty, czyli 8√3 cm² — zdanie 2 też jest prawdziwe.

Odpowiedź: oba zdania

Na kartce w kratkę Tomek narysował według pewnej reguły cztery łamane. Ich długości to: I — 3, II — 8, III — 15, IV — 24. Kolejne łamane, od numeru V, rysował według tej samej reguły.

Który numer ma łamana o długości 48 i jaką długość ma łamana numer VIII?

Do wyboru:

• A.VI; 80
• B.VI; 63
• C.VII; 80
• D.VII; 63

Pokaż rozwiązanie

1. Długości 3, 8, 15, 24 to kolejno 1 · 3, 2 · 4, 3 · 5, 4 · 6 — łamana o numerze n ma długość n razy (n + 2).
2. 6 · 8 = 48, więc długość 48 ma łamana VI.
3. Łamana VIII: 8 · 10 = 80.

Odpowiedź: VI; 80

W trzech sklepach łyżwy figurowe kosztowały tyle samo. Na wiosnę sklep Alfa ogłosił: płacisz tylko 2/3 ceny, sklep Beta: obniżka o 30%, a sklep Gamma: ścinamy ćwierć ceny. W którym sklepie cena po obniżce była najniższa?

Do wyboru:

• A.w sklepie Alfa
• B.w sklepie Beta
• C.w sklepie Gamma
• D.wszędzie tyle samo

Pokaż rozwiązanie

1. Alfa: płacimy 2/3 ceny, czyli około 67%.
2. Beta: płacimy 100% − 30% = 70% ceny.
3. Gamma: płacimy 3/4 ceny, czyli 75%. Najmniej płacimy w sklepie Alfa.

Odpowiedź: w sklepie Alfa

Dany jest trójkąt równoboczny ABC o boku 10 cm, w którym poprowadzono wysokość CD. Ile wynosi obwód trójkąta ADC?

Do wyboru:

• A.10√3 cm
• B.20√3 cm
• C.(5 + 5√3) cm
• D.(15 + 5√3) cm

Pokaż rozwiązanie

1. Wysokość dzieli bok AB na połowy: AD = 5 cm, a AC = 10 cm.
2. Wysokość trójkąta równobocznego to bok razy √3 przez 2, czyli CD = 5√3 cm.
3. Obwód ADC: 5 + 10 + 5√3, czyli (15 + 5√3) cm.

Odpowiedź: (15 + 5√3) cm

W trójkącie KLM poprowadzono wysokość KN. Długości odcinków to |KL| = 2y, |LM| = 2x oraz |KN| = k + 1. Które wyrażenie opisuje pole trójkąta KLM?

Do wyboru:

• A.x(k + 1)
• B.2x(k + 1)
• C.y(k + 1)
• D.2y(k + 1)

Pokaż rozwiązanie

1. KN to wysokość poprowadzona na bok LM.
2. Pole to połowa iloczynu boku i wysokości: 2x razy (k + 1) i przez 2, czyli x(k + 1).

Odpowiedź: x(k + 1)

W trójkącie o kątach α, β, γ miara kąta α jest równa różnicy miar dwóch pozostałych kątów: α = β − γ. Co z tego wynika?

Do wyboru:

• A.kąt β ma 90°, więc trójkąt jest prostokątny
• B.kąt α ma 90°, więc trójkąt jest prostokątny
• C.kąt γ ma 90°, więc trójkąt jest prostokątny
• D.trójkąt jest równoramienny

Pokaż rozwiązanie

1. Z α = β − γ wynika, że α + γ = β.
2. Suma kątów trójkąta to 180°, a α + γ to β, więc β i β dają razem 180°.
3. Stąd β = 90° i trójkąt jest prostokątny.

Odpowiedź: kąt β ma 90°, więc trójkąt jest prostokątny

Na rysunku przedstawiono układ miejsc w ośmioosobowym przedziale wagonu i kierunek jazdy pociągu. Wszystkie miejsca są wolne. Edyta chce siedzieć przy oknie, a Agnieszka przodem do kierunku jazdy. Ile jest wszystkich możliwości wyboru miejsc spełniających oba warunki?

Do wyboru:

• A.4
• B.6
• C.7
• D.8

Pokaż rozwiązanie

1. Przy oknie są miejsca 45 i 46, a przodem do kierunku jazdy siedzi się na miejscach 42, 48, 44 i 46.
2. Gdy Edyta siedzi na 45, Agnieszka ma do wyboru 4 miejsca: 42, 48, 44 i 46.
3. Gdy Edyta siedzi na 46, Agnieszce zostają 3 miejsca: 42, 48 i 44. Razem 4 + 3 = 7 możliwości.

Odpowiedź: 7

W domu kultury zorganizowano konkurs recytatorski. Na nagrody kupiono książki i e-booki. Książki stanowiły 2/3 liczby kupionych nagród, a e-booków było o 8 mniej niż książek.

Ile kupiono książek?

Do wyboru:

• A.8
• B.12
• C.16
• D.24

Pokaż rozwiązanie

1. E-booki to 1/3 nagród, a książki 2/3, więc różnica 8 to 1/3 wszystkich nagród.
2. Wszystkich nagród: 3 · 8 = 24.
3. Książek: 2/3 · 24 = 16.

Odpowiedź: 16

W zakładzie krawieckim szyje się poduszki dla zwierząt. Praca trwa od poniedziałku do piątku, po 7 godzin dziennie. W 2020 roku 1 marca wypadł w niedzielę i w tym miesiącu nie było dni wolnych oprócz sobót i niedziel. W każdej godzinie pracy szyto średnio 3 poduszki. Ile poduszek uszyto w marcu 2020 roku?

Do wyboru:

• A.462
• B.441
• C.483
• D.651

Pokaż rozwiązanie

1. Marzec ma 31 dni i zaczyna się w niedzielę. Soboty i niedziele to 1, 7, 8, 14, 15, 21, 22, 28 i 29 marca — 9 dni.
2. Dni pracy: 31 − 9 = 22.
3. Poduszki: 22 · 7 · 3 = 462.

Odpowiedź: 462

Boisko szkolne ma kształt prostokąta o wymiarach 46 m i 30 m. Do obsiania 40 m² potrzebny jest 1 kg nasion trawy. Nasiona sprzedaje się tylko w workach po 10 kg, po 163 zł za worek.

Ile złotych kosztują nasiona potrzebne do obsiania boiska?

Do wyboru:

• A.489 zł
• B.562,35 zł
• C.652 zł
• D.815 zł

Pokaż rozwiązanie

1. Pole boiska: 46 · 30 = 1380 m².
2. Nasion potrzeba 1380 : 40 = 34,5 kg, a 3 worki to tylko 30 kg, więc trzeba kupić 4 worki.
3. Koszt: 4 · 163 = 652 zł.

Odpowiedź: 652 zł

Podstawą ostrosłupa o wysokości H jest kwadrat o boku 5 cm. Na rysunku przedstawiono siatkę ostrosłupa; jedna z jego krawędzi bocznych ma 13 cm.

Ile centymetrów sześciennych ma objętość tego ostrosłupa?

Do wyboru:

• A.100 cm³
• B.108 cm³
• C.300 cm³
• D.325 cm³

Pokaż rozwiązanie

1. Krawędź 13 cm to przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych H i 5 cm.
2. H² = 13² − 5² = 169 − 25 = 144, więc H = 12 cm.
3. Objętość: 1/3 · 5 · 5 · 12 = 100 cm³.

Odpowiedź: 100 cm³