Egzamin ósmoklasisty 2019

31 sierpnia 2017 roku był czwartek. Natalia obchodzi urodziny 31 sierpnia, jej siostra Ewa 18 sierpnia, a brat Karol 2 października.
Zdanie 1: w 2017 r. urodziny Ewy wypadły w piątek.
Zdanie 2: w 2017 r. dniem urodzin Karola był poniedziałek.

Które zdania są prawdziwe?

Do wyboru:

• A.oba zdania
• B.tylko zdanie 1
• C.tylko zdanie 2
• D.żadne

Pokaż rozwiązanie

1. 18 sierpnia jest 31 − 18 = 13 dni przed 31 sierpnia, czyli tydzień i 6 dni wcześniej. Czwartek cofnięty o 6 dni to piątek.
2. Od 31 sierpnia do 2 października mijają 32 dni: 30 dni września i 2 dni października.
3. 32 = 4 · 7 + 4, więc to czwartek przesunięty o 4 dni, czyli poniedziałek. Oba zdania są prawdziwe.

Odpowiedź: oba zdania

Liczba 1450 jest zaokrągleniem do rzędu dziesiątek kilku liczb naturalnych. Ile jest wszystkich liczb naturalnych różnych od 1450, które mają takie zaokrąglenie?

Do wyboru:

• A.4
• B.5
• C.9
• D.10

Pokaż rozwiązanie

1. Do 1450 zaokrągla się liczby od 1445 do 1454.
2. To 1454 − 1445 + 1 = 10 liczb, a bez samej liczby 1450 zostaje 9.

Odpowiedź: 9

Dane są trzy wyrażenia: I. 5² · 10⁸ · 5⁴, II. (5¹⁰ : 5²) · 10⁸, III. 2⁸ · 5⁸ · 5⁸. Które z nich są równe 50⁸?

Do wyboru:

• A.tylko I i II
• B.tylko II i III
• C.tylko II
• D.tylko III

Pokaż rozwiązanie

1. 50 to 5 · 10, więc 50⁸ to 5⁸ · 10⁸.
2. I: 5² · 5⁴ daje 5⁶, więc I to 5⁶ · 10⁸ — o dwie piątki za mało.
3. II: 5¹⁰ : 5² daje 5⁸, więc II to 5⁸ · 10⁸.
4. III: 2⁸ · 5⁸ daje 10⁸, więc III to 10⁸ · 5⁸. Równe 50⁸ są tylko II i III.

Odpowiedź: tylko II i III

Dane są cztery wyrażenia: I. 4 + √35, II. 6 + √17, III. 17 − √48, IV. 15 − √26. Wartości których wyrażeń są mniejsze od 10?

Do wyboru:

• A.I i II
• B.II i III
• C.III i IV
• D.I i IV

Pokaż rozwiązanie

1. √35 jest mniejszy od √36, czyli od 6, więc 4 + √35 jest mniejsze od 10.
2. √17 jest większy od √16, czyli od 4, więc 6 + √17 jest większe od 10.
3. √48 jest mniejszy od √49, czyli od 7, więc 17 − √48 jest większe od 10.
4. √26 jest większy od √25, czyli od 5, więc 15 − √26 jest mniejsze od 10. Odpowiedź: I i IV.

Odpowiedź: I i IV

Adam przygotował karty do gry z czterech arkuszy kartonu. Najpierw podzielił każdy arkusz na cztery części, a następnie każdą z nich ponownie podzielił na cztery części. W grze bierze udział 5 graczy, z których każdy otrzymuje jednakową liczbę kart.

Ile kart przygotował Adam i ile najwięcej kart może dostać każdy gracz?

Do wyboru:

• A.64 karty; po 12
• B.64 karty; po 13
• C.32 karty; po 6
• D.32 karty; po 7

Pokaż rozwiązanie

1. Kart jest 4 · 4 · 4 = 64.
2. 5 · 12 = 60, a 5 · 13 = 65 to już więcej niż 64.
3. Każdy gracz może więc dostać najwyżej 12 kart.

Odpowiedź: 64 karty; po 12

Dorota sporządziła z cukru i wody syrop do deseru. Stosunek masy cukru do masy wody w tym syropie jest równy 5 : 3. Ile procent masy tego syropu stanowi masa cukru?

Do wyboru:

• A.25%
• B.37,5%
• C.40%
• D.60%
• E.62,5%

Pokaż rozwiązanie

1. Cały syrop to 5 + 3 = 8 części, a cukier to 5 z nich.
2. 5/8 = 0,625 = 62,5%.

Odpowiedź: 62,5%

W pewnej firmie zatrudnionych jest więcej niż 10 pracowników. Połowa z nich zarabia po 3000 zł, a druga połowa po 4000 zł.
Zdanie 1: średnia arytmetyczna zarobków w tej firmie jest równa 3500 zł.
Zdanie 2: gdy z firmy odejdą dwie osoby, jedna zarabiająca 3000 zł i druga zarabiająca 4000 zł, średnia zarobków się nie zmieni.

Które zdania są prawdziwe?

Do wyboru:

• A.oba zdania
• B.tylko zdanie 1
• C.tylko zdanie 2
• D.żadne

Pokaż rozwiązanie

1. Pracowników można połączyć w pary: jeden zarabia 3000 zł, drugi 4000 zł. Średnia pary to (3000 + 4000) : 2 = 3500 zł.
2. Średnia całej firmy to więc 3500 zł — zdanie 1 jest prawdziwe.
3. Po odejściu jednej takiej pary nadal połowa zarabia 3000 zł, a połowa 4000 zł, więc średnia dalej wynosi 3500 zł. Oba zdania są prawdziwe.

Odpowiedź: oba zdania

Wyrażenie (2a + 3b)(3b − 2a) jest równe

Do wyboru:

• A.4a² − 12ab + 9b²
• B.9b² + 12ab + 4a²
• C.9b² − 4a²
• D.4a² − 9b²

Pokaż rozwiązanie

1. Zamieniamy kolejność w pierwszym nawiasie: (3b + 2a)(3b − 2a).
2. To wzór na różnicę kwadratów: (3b)² − (2a)², czyli 9b² − 4a².

Odpowiedź: 9b² − 4a²

W układzie współrzędnych wyznaczono odcinek KL o końcach K = (−17; 6) i L = (15; −4). Na którym rysunku zakropkowana część płaszczyzny zawiera środek odcinka KL?

Do wyboru:

• A.A
• B.B
• C.C
• D.D

Pokaż rozwiązanie

1. Pierwsza współrzędna środka: (−17 + 15) : 2 = −1.
2. Druga współrzędna środka: (6 − 4) : 2 = 1.
3. Środek leży na lewo od osi y i nad osią x — tę część zakropkowano na rysunku B.

Odpowiedź: B

Kwadrat o boku a (rysunek I) rozcięto na dwa przystające prostokąty, z których ułożono figurę jak na rysunku II.
Zdanie 1: obwód ułożonej figury jest większy o 1,5a od obwodu kwadratu.
Zdanie 2: obwód ułożonej figury jest równy 5a.

Które zdania są prawdziwe?

Do wyboru:

• A.oba zdania
• B.tylko zdanie 1
• C.tylko zdanie 2
• D.żadne

Pokaż rozwiązanie

1. Każdy prostokąt ma boki a i pół a.
2. Dolny prostokąt daje do obwodu podstawę a, dwa boki po pół a i odsłonięte pół a u góry — razem 2,5a. Górny daje dwa boki po a i pół a u góry — też 2,5a.
3. Obwód figury to 5a, a kwadratu 4a. Różnica to a, nie 1,5a, więc prawdziwe jest tylko zdanie 2.

Odpowiedź: tylko zdanie 2

Na rysunku przedstawiono trzy trójkąty. Co można stwierdzić na podstawie informacji z rysunku?

Do wyboru:

• A.trójkąt ABC jest przystający do trójkąta KLM
• B.trójkąt KLM jest przystający do trójkąta PQR
• C.trójkąt PQR jest przystający do trójkąta ABC
• D.wszystkie trójkąty są do siebie przystające

Pokaż rozwiązanie

1. Brakujące kąty: w ABC kąt B ma 180° − 45° − 76° = 59°, w KLM kąt K ma 180° − 49° − 55° = 76°.
2. W KLM bok długości 7 leży między kątami 76° i 55°, w PQR też. Te trójkąty są przystające (cecha kąt–bok–kąt).
3. W ABC bok długości 7 leży między kątami 76° i 59°, więc ABC nie jest przystający do pozostałych.

Odpowiedź: trójkąt KLM jest przystający do trójkąta PQR

Na rysunku przedstawiono równoległobok ABCD i trójkąt równoramienny AED, w którym boki DE i AE są równe. Miara kąta BCE jest równa 106°. Jaką miarę ma kąt AEC?

Do wyboru:

• A.148°
• B.122°
• C.74°
• D.58°

Pokaż rozwiązanie

1. Kąty równoległoboku przy jednym boku dają razem 180°, więc kąt D ma 180° − 106° = 74°.
2. Trójkąt AED jest równoramienny, więc kąt DAE też ma 74°, a kąt AED ma 180° − 74° − 74° = 32°.
3. Kąty AED i AEC tworzą razem kąt półpełny: 180° − 32° = 148°.

Odpowiedź: 148°

Na rysunku przedstawiono czworokąt zbudowany z dwóch trójkątów prostokątnych. Boki AB i BC mają długość 1, a bok AD ma długość √2. Jaką długość ma bok CD?

Do wyboru:

• A.√3
• B.2
• C.3
• D.2√2

Pokaż rozwiązanie

1. W trójkącie ABD kąt prosty jest przy A, więc kwadrat BD to 1 + 2 = 3.
2. W trójkącie DBC kąt prosty jest przy B, więc kwadrat CD to 3 + 1 = 4.
3. CD to √4, czyli 2.

Odpowiedź: 2

W koszu były 203 jednakowe sześcienne klocki. Zbudowano z nich możliwie największy sześcian, a pozostałe odłożono. Ile klocków odłożono?

Do wyboru:

• A.150
• B.125
• C.78
• D.53

Pokaż rozwiązanie

1. 5 · 5 · 5 = 125, a 6 · 6 · 6 = 216 to już więcej niż 203 — największy sześcian ma krawędź z 5 klocków.
2. Odłożono 203 − 125 = 78 klocków.

Odpowiedź: 78

Na rysunku przedstawiono fragment siatki ostrosłupa prawidłowego czworokątnego. Ile jest równa suma długości wszystkich krawędzi tego ostrosłupa?

Do wyboru:

• A.560 cm
• B.360 cm
• C.260 cm
• D.220 cm

Pokaż rozwiązanie

1. Podstawa to kwadrat o boku 40 cm: 4 · 40 = 160 cm.
2. Cztery krawędzie boczne po 50 cm: 4 · 50 = 200 cm.
3. Razem 160 + 200 = 360 cm.

Odpowiedź: 360 cm

Na diagramie przedstawiono, jaki procent meczów w sezonie drużyna piłkarska wygrała, przegrała i zremisowała. W całym sezonie drużyna wygrała 10 meczów.

Ile meczów w sezonie ta drużyna przegrała?

Do wyboru:

• A.10
• B.12
• C.18
• D.30

Pokaż rozwiązanie

1. Przegrane: 100% − 25% − 45% = 30% meczów.
2. 25% to 10 meczów, więc wszystkich meczów było 10 · 4 = 40.
3. 30% z 40 to 0,3 · 40 = 12 meczów.

Odpowiedź: 12

Samochód osobowy przebył drogę 120 km w czasie 75 minut. Średnia prędkość busa na tej samej trasie wyniosła 80 km/h.

O ile minut krótszy był czas przejazdu tej drogi samochodem osobowym niż busem?

Do wyboru:

• A.10 min
• B.15 min
• C.30 min
• D.90 min

Pokaż rozwiązanie

1. Bus jechał 120 : 80 = 1,5 godziny, czyli 90 minut.
2. Samochód jechał krócej o 90 − 75 = 15 minut.

Odpowiedź: 15 min

Adam zamówił bukiet złożony tylko z goździków i róż, w którym goździków było 2 razy więcej niż róż. Jedna róża kosztowała 4 zł, a jeden goździk 3 zł.

Czy wszystkie kwiaty w tym bukiecie mogły kosztować 35 zł?

Do wyboru:

• A.Nie, bo cena takiego bukietu zawsze dzieli się przez 10
• B.Tak, jeśli były w nim 2 róże i 9 goździków
• C.Tak, jeśli było w nim 5 róż i 5 goździków
• D.Nie, bo 35 jest liczbą nieparzystą

Pokaż rozwiązanie

1. Na każdą różę przypadają 2 goździki. Taki zestaw kosztuje 4 + 2 · 3 = 10 zł.
2. Bukiet składa się z kilku takich zestawów, więc jego cena dzieli się przez 10.
3. 35 : 10 = 3,5 — to nie jest liczba całkowita, więc bukiet nie mógł kosztować 35 zł.

Odpowiedź: Nie, bo cena takiego bukietu zawsze dzieli się przez 10

Na dniu sportu przed południem przeprowadzono połowę wszystkich zaplanowanych konkurencji, a po południu jeszcze 1/3 pozostałych. Potem z powodu deszczu zakończono zawody i 12 zaplanowanych konkurencji się nie odbyło.

Ile konkurencji planowano przeprowadzić podczas całego dnia sportu?

Do wyboru:

• A.18
• B.24
• C.36
• D.72

Pokaż rozwiązanie

1. Po południu odbyła się 1/3 z połowy, czyli 1/6 wszystkich konkurencji.
2. Nie odbyło się 1 − 1/2 − 1/6 = 2/6 = 1/3 wszystkich konkurencji.
3. 1/3 to 12 konkurencji, więc wszystkich było 3 · 12 = 36.

Odpowiedź: 36

Prostokątną działkę o powierzchni 3750 m² podzielono na trzy prostokątne działki o jednakowych wymiarach, w sposób przedstawiony na rysunku. Jakie wymiary miała działka przed podziałem?

Do wyboru:

• A.75 m i 50 m
• B.125 m i 30 m
• C.150 m i 25 m
• D.75 m i 25 m

Pokaż rozwiązanie

1. Po prawej dwie małe działki leżą jedna na drugiej obok jednej stojącej, więc długość małej działki to dwie jej szerokości.
2. Jeśli szerokość małej działki to a, cała działka ma wymiary 3a i 2a, czyli 6 kwadratów o boku a. Jeden taki kwadrat ma 3750 : 6 = 625 m², więc a = 25 m.
3. Wymiary: 3 · 25 = 75 m oraz 2 · 25 = 50 m.

Odpowiedź: 75 m i 50 m

Paweł wyciął z kartonu trójkąt prostokątny ABC o przyprostokątnych 12 cm i 16 cm (rysunek I). Połączył środki dłuższej przyprostokątnej i przeciwprostokątnej linią równoległą do krótszej przyprostokątnej i rozciął trójkąt wzdłuż tej linii. Z dwóch części złożył trapez PRST (rysunek II).

O ile centymetrów obwód trójkąta ABC jest większy od obwodu trapezu PRST?

Do wyboru:

• A.2 cm
• B.4 cm
• C.6 cm
• D.8 cm

Pokaż rozwiązanie

1. Przeciwprostokątna: 12² + 16² = 144 + 256 = 400, więc ma 20 cm. Obwód trójkąta: 12 + 16 + 20 = 48 cm.
2. Odcięty trójkąt ma boki 8 cm, 10 cm i 6 cm — to połowy boków dużego trójkąta.
3. Podstawy trapezu mają 6 + 12 = 18 cm oraz 6 cm, a ramiona po 10 cm. Obwód trapezu: 18 + 6 + 10 + 10 = 44 cm.
4. Różnica: 48 − 44 = 4 cm.

Odpowiedź: 4 cm