Egzamin ósmoklasisty 2021

Na diagramie przedstawiono liczby medali zdobytych przez reprezentację Polski na czterech letnich igrzyskach olimpijskich w latach 2004–2016.
Zdanie 1: liczba złotych medali stanowi więcej niż jedną trzecią liczby wszystkich zdobytych medali.
Zdanie 2: na tych igrzyskach średnio zdobywano 3 złote medale.

Które zdania są prawdziwe?

Do wyboru:

• A.oba zdania
• B.tylko zdanie 1
• C.tylko zdanie 2
• D.żadne

Pokaż rozwiązanie

1. Złote: 3 + 4 + 3 + 2 = 12, srebrne: 2 + 5 + 1 + 3 = 11, brązowe: 5 + 2 + 7 + 6 = 20, razem 43 medale.
2. Jedna trzecia z 43 to ponad 14, a złotych jest 12 — zdanie 1 jest fałszywe.
3. Średnio złotych: 12 : 4 = 3 — zdanie 2 jest prawdziwe.

Odpowiedź: tylko zdanie 2

Dane są liczby x = −62,5 + 30, y = −14,4 − 12,6, t = −12 : 0,3 oraz u = −8,02 · 6. Która z tych liczb jest największa?

Do wyboru:

• A.x
• B.y
• C.t
• D.u

Pokaż rozwiązanie

1. x = −62,5 + 30 = −32,5 oraz y = −14,4 − 12,6 = −27.
2. t = −12 : 0,3 = −40 oraz u = −8,02 · 6 = −48,12.
3. Wszystkie są ujemne, a największa jest ta najbliżej zera: y.

Odpowiedź: y

Jakimi liczbami są wartości wyrażeń 3/7 + 3/5 oraz 3/7 − 3/5?

Do wyboru:

• A.większą od 1 i ujemną
• B.większą od 1 i dodatnią
• C.mniejszą od 1 i ujemną
• D.mniejszą od 1 i dodatnią

Pokaż rozwiązanie

1. 3/7 + 3/5 = 15/35 + 21/35 = 36/35 — to więcej niż 1.
2. 3/7 − 3/5 = 15/35 − 21/35 = −6/35 — to liczba ujemna.

Odpowiedź: większą od 1 i ujemną

Z reguł działań na potęgach wynika, że (200 000)³ = (2 · 10⁵)³ = 2³ · 10¹⁵. Ile jest równa liczba (60 000 000)³?

Do wyboru:

• A.6³ · 10²¹
• B.6 · 10²¹
• C.6³ · 10¹⁰
• D.6 · 10¹⁰

Pokaż rozwiązanie

1. 60 000 000 = 6 · 10⁷.
2. (6 · 10⁷)³ = 6³ · 10²¹, bo do potęgi podnosimy każdy czynnik, a 7 · 3 = 21.

Odpowiedź: 6³ · 10²¹

Czy iloczyn dowolnych pięciu kolejnych liczb całkowitych jest podzielny przez 10?

Do wyboru:

• A.tak, bo wśród nich jest liczba podzielna przez 5 i liczba parzysta
• B.tak, bo wśród nich jest liczba parzysta i liczba nieparzysta
• C.nie, bo nie musi być wśród nich liczby podzielnej przez 10

Pokaż rozwiązanie

1. Wśród pięciu kolejnych liczb całkowitych zawsze jest jedna podzielna przez 5 i co najmniej jedna parzysta.
2. Iloczyn dzieli się więc przez 5 i przez 2, czyli przez 10 — nawet bez liczby podzielnej przez 10.
3. Przykład: 11 · 12 · 13 · 14 · 15 = 360 360.

Odpowiedź: tak, bo wśród nich jest liczba podzielna przez 5 i liczba parzysta

Podatek od dochodów za rok 2016 był obliczany według sposobów z tabeli. Podstawa obliczenia podatku pana Jana wyniosła 84 500 zł, a pani Zofii 97 300 zł. Które wyrażenia opisują wysokość ich podatku (w zł)?

Do wyboru:

• A.Jan: 0,18 · 84 500 − 556,02; Zofia: 14 839,02 + 0,32 · (97 300 − 85 528)
• B.Jan: 0,18 · (84 500 − 556,02); Zofia: 14 839,02 + 0,32 · (97 300 − 85 528)
• C.Jan: 0,18 · 84 500 − 556,02; Zofia: 14 839,02 + 0,32 · 85 528
• D.Jan: 0,18 · (84 500 − 556,02); Zofia: 14 839,02 + 0,32 · 85 528

Pokaż rozwiązanie

1. Pan Jan ma podstawę mniejszą niż 85 528 zł, więc płaci 18% podstawy, a potem odejmuje 556,02 zł: 0,18 · 84 500 − 556,02.
2. Pani Zofia ma więcej, więc płaci 14 839,02 zł i 32% nadwyżki ponad 85 528 zł: 14 839,02 + 0,32 · (97 300 − 85 528).

Odpowiedź: Jan: 0,18 · 84 500 − 556,02; Zofia: 14 839,02 + 0,32 · (97 300 − 85 528)

Do liczby (−√10) dodajemy 5. Jaką liczbą jest wynik?

Do wyboru:

• A.większą od 1
• B.dodatnią mniejszą od 1
• C.mniejszą od (−8)
• D.ujemną większą od (−8)

Pokaż rozwiązanie

1. √10 leży między 3 a 4, bo 3² = 9, a 4² = 16.
2. 5 − √10 leży więc między 1 a 2 — to liczba większa od 1.

Odpowiedź: większą od 1

Trójki liczb naturalnych a, b, c spełniające warunek a² + b² = c² nazywamy pitagorejskimi. Niektóre z nich otrzymujemy ze wzorów:
a = 2n + 1
b = 2n(n + 1)
c = 2n² + 2n + 1
gdzie n jest liczbą naturalną.

Jaka zawsze jest liczba a i o ile różnią się liczby b i c?

Do wyboru:

• A.nieparzysta; o 1
• B.parzysta; o 1
• C.nieparzysta; o n
• D.parzysta; o n

Pokaż rozwiązanie

1. 2n jest parzyste, więc 2n + 1 jest zawsze nieparzyste.
2. b = 2n² + 2n, a c = 2n² + 2n + 1, więc c jest zawsze o 1 większe od b.

Odpowiedź: nieparzysta; o 1

Trójkę pitagorejską a, b, c wyznaczono ze wzorów a = 2n + 1, b = 2n(n + 1), c = 2n² + 2n + 1. Najmniejsza z liczb a, b, c jest równa 9. Ile jest równa największa z nich?

Do wyboru:

• A.41
• B.73
• C.145
• D.181

Pokaż rozwiązanie

1. Najmniejsza jest a = 2n + 1 = 9, więc n = 4.
2. c = 2 · 4² + 2 · 4 + 1 = 32 + 8 + 1 = 41.
3. Sprawdzenie: b = 2 · 4 · 5 = 40, a 9² + 40² = 81 + 1600 = 1681 = 41².

Odpowiedź: 41

Ala kupiła trzy zeszyty i blok rysunkowy. Średnia arytmetyczna cen tych czterech artykułów była równa 6 zł. Zeszyty kosztowały łącznie 15 zł.

Ile złotych kosztował blok rysunkowy?

Do wyboru:

• A.4 zł
• B.5 zł
• C.8 zł
• D.9 zł

Pokaż rozwiązanie

1. Cztery artykuły kosztowały razem 4 · 6 = 24 zł.
2. Blok: 24 − 15 = 9 zł.

Odpowiedź: 9 zł

W pewnej loterii wśród 150 losów co szósty był wygrywający, a pozostałe były puste. Wyciągnięto 30 losów i żaden z nich nie był wygrywający.

Ile losów wygrywających przygotowano i jakie jest prawdopodobieństwo, że następny los będzie wygrywający?

Do wyboru:

• A.25; 25/120
• B.25; 25/125
• C.120; 25/120
• D.120; 25/125

Pokaż rozwiązanie

1. Co szósty los wygrywa: 150 : 6 = 25 losów wygrywających.
2. Po wyciągnięciu 30 pustych zostało 150 − 30 = 120 losów, a wśród nich wszystkie 25 wygrywających.
3. Prawdopodobieństwo: 25/120.

Odpowiedź: 25; 25/120

W trójkącie ABC narysowano dwie wysokości: CD i AE. Kąt rozwarty między tymi wysokościami ma 138°. Jaką miarę ma kąt α zaznaczony na rysunku?

Do wyboru:

• A.38°
• B.42°
• C.45°
• D.48°

Pokaż rozwiązanie

1. Kąt ostry między wysokościami: 180° − 138° = 42°.
2. W trójkącie prostokątnym z kątem prostym przy D: α = 180° − 90° − 42° = 48°.

Odpowiedź: 48°

Listewkę o długości 50 cm planowano pociąć na równe części. Iwona zaznaczyła na czerwono linie cięcia co 5 cm, a Agata na zielono linie cięcia co 2 cm. Ile razy linia czerwona pokryła się z linią zieloną?

Do wyboru:

• A.5
• B.4
• C.3
• D.2

Pokaż rozwiązanie

1. Linie pokrywają się tam, gdzie odległość od początku dzieli się i przez 5, i przez 2, czyli przez 10.
2. Linie cięcia leżą wewnątrz listewki: 10, 20, 30 i 40 cm — przy 50 cm listewka już się kończy.
3. Linie pokrywają się 4 razy.

Odpowiedź: 4

Skrzynia ma kształt prostopadłościanu. Jej podłoga ma wymiary 1,5 m i 1,2 m, a wysokość skrzyni to 1 m. Piasek wsypany do skrzyni zajmuje 3/4 jej pojemności.

Ile metrów sześciennych piasku wsypano do skrzyni?

Do wyboru:

• A.0,45 m³
• B.1,35 m³
• C.1,8 m³
• D.2,4 m³

Pokaż rozwiązanie

1. Pojemność skrzyni: 1,5 · 1,2 · 1 = 1,8 m³.
2. Piasek: 3/4 · 1,8 = 1,35 m³.

Odpowiedź: 1,35 m³

Staś ma dwa jednakowe klocki w kształcie ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, każdy o polu powierzchni całkowitej 80 cm². Podstawa i ściana boczna klocka mają równe pola. Staś skleił klocki podstawami. Jakie pole powierzchni ma otrzymana bryła?

Do wyboru:

• A.112 cm²
• B.128 cm²
• C.144 cm²
• D.160 cm²

Pokaż rozwiązanie

1. Klocek ma podstawę i 4 ściany boczne o równych polach, więc każda ma 80 : 5 = 16 cm².
2. Po sklejeniu podstawy są w środku, a na zewnątrz zostaje 8 ścian bocznych: 8 · 16 = 128 cm².

Odpowiedź: 128 cm²

Paweł powiedział, że podzieli tabliczkę czekolady tak, że bratu przypadnie 1/2 tabliczki, siostrze 5/12 tabliczki, a jemu 1/6 tabliczki. Czy taki podział jest możliwy?

Do wyboru:

• A.nie, bo razem to 13/12 tabliczki — więcej niż cała
• B.tak, bo razem to dokładnie cała tabliczka
• C.tak, i zostanie jeszcze 1/12 tabliczki

Pokaż rozwiązanie

1. Sprowadzamy do dwunastych: 1/2 = 6/12, a 1/6 = 2/12.
2. Razem: 6/12 + 5/12 + 2/12 = 13/12.
3. To więcej niż cała tabliczka (12/12), więc taki podział jest niemożliwy.

Odpowiedź: nie, bo razem to 13/12 tabliczki — więcej niż cała

Adam umówił się z Bartkiem w Żabnie na godzinę 18:00. Wyjechał z Bocianowa skuterem o 17:20 i jechał ze średnią prędkością 25 km/h. Na kwadratowej siatce przedstawił schemat trasy, którą jechał. O której godzinie Adam dotarł na spotkanie?

Do wyboru:

• A.17:56
• B.17:44
• C.18:05
• D.17:52

Pokaż rozwiązanie

1. Z siatki: Bocianowo–Stawisko 3 km, Stawisko–Bajorko 5 km (przekątna 3 na 4 kratki: 3² + 4² = 25), Bajorko–Żabno 7 km.
2. Cała trasa: 3 + 5 + 7 = 15 km.
3. Przy 25 km/h 1 km zajmuje 60 : 25 = 2,4 minuty, więc 15 km to 15 · 2,4 = 36 minut.
4. 17:20 i 36 minut to 17:56.

Odpowiedź: 17:56

Ania chciała kupić 10 jednakowych puszek karmy dla psa, ale zabrakło jej 11 zł. Kupiła 6 takich puszek i zostało jej 3,40 zł.

Ile złotych kosztuje jedna puszka karmy?

Do wyboru:

• A.1,40 zł
• B.2,40 zł
• C.3,60 zł
• D.5 zł

Pokaż rozwiązanie

1. Do 10 puszek brakowało 11 zł, a po kupnie 6 puszek zostało 3,40 zł.
2. 4 puszki różnicy kosztują więc 11 + 3,40 = 14,40 zł.
3. Jedna puszka: 14,40 : 4 = 3,60 zł.

Odpowiedź: 3,60 zł

Dany jest prostokąt ABCD o wymiarach 12 cm i 16 cm. Odcinek AC jest przekątną tego prostokąta, a odcinek DS jest wysokością trójkąta ACD.

Ile centymetrów ma odcinek DS?

Do wyboru:

• A.8 cm
• B.9,6 cm
• C.10 cm
• D.12 cm

Pokaż rozwiązanie

1. Przekątna: 12² + 16² = 144 + 256 = 400, więc AC = 20 cm.
2. Pole trójkąta ACD to połowa prostokąta: 12 · 16 : 2 = 96 cm².
3. To samo pole to AC · DS : 2, więc DS = 96 · 2 : 20 = 9,6 cm.

Odpowiedź: 9,6 cm