Egzamin ósmoklasisty 2023

Składniki na 8 gofrów: 1 1/2 szklanki mąki, 1 1/3 szklanki mleka, 2 jajka, 1 1/2 łyżeczki proszku do pieczenia, 2 łyżeczki cukru pudru, 1/2 szklanki oleju, szczypta soli.
Zdanie 1: do przygotowania ciasta na 40 gofrów, przy zachowaniu proporcji, potrzeba 10 jajek.
Zdanie 2: do przygotowania ciasta na 72 gofry potrzeba 12 szklanek mleka.

Które zdania są prawdziwe?

Do wyboru:

• A.oba zdania
• B.tylko zdanie 1
• C.tylko zdanie 2
• D.żadne

Pokaż rozwiązanie

1. 40 gofrów to 40 : 8 = 5 razy więcej, więc jajek potrzeba 5 · 2 = 10 — zdanie 1 jest prawdziwe.
2. 72 gofry to 72 : 8 = 9 razy więcej, a 1 1/3 szklanki to 4/3 szklanki, więc mleka potrzeba 9 · 4/3 = 12 szklanek — zdanie 2 też jest prawdziwe.

Odpowiedź: oba zdania

Dostęp do pliku jest chroniony hasłem złożonym z dwóch liczb dwucyfrowych oddzielonych literą T. Pierwsza liczba hasła to sześcian liczby 4, a druga to najmniejszy wspólny mianownik ułamków 1/15 i 1/25. Jakie jest hasło do pliku?

Do wyboru:

• A.24T45
• B.24T75
• C.64T45
• D.64T75

Pokaż rozwiązanie

1. Sześcian liczby 4: 4 · 4 · 4 = 64.
2. Najmniejszy wspólny mianownik to najmniejsza wspólna wielokrotność 15 i 25: 15 = 3 · 5, 25 = 5 · 5, więc to 3 · 5 · 5 = 75.
3. Hasło: 64T75.

Odpowiedź: 64T75

Dane są wyrażenia: G = 2x² + 2, H = 2x² + 2x, J = 2x² − 2, K = 2x² − 2x. Które z nich przyjmuje wartość 0 zarówno dla x = 1, jak i dla x = −1?

Do wyboru:

• A.G
• B.H
• C.J
• D.K

Pokaż rozwiązanie

1. Dla x = 1 i dla x = −1 mamy x² = 1, więc 2x² = 2.
2. J = 2 − 2 = 0 w obu przypadkach.
3. H i K zależą od znaku x: H = 2 + 2 · (−1) = 0 tylko dla x = −1, a K = 2 − 2 · 1 = 0 tylko dla x = 1.

Odpowiedź: J

Marta układała jednakowe książki na dwóch półkach o tych samych wymiarach wewnętrznych. Pierwszą półkę (I) całkowicie wypełniła 12 książkami. Na drugiej półce (II) postanowiła ustawić książki jedna przy drugiej na całej szerokości półki tak, aby nad nimi zostało wolne miejsce, jak na rysunku. Ile najwięcej książek zmieści na drugiej półce?

Do wyboru:

• A.7
• B.8
• C.10
• D.11

Pokaż rozwiązanie

1. Na półce I książki leżą w 2 stosach po 6, więc każda ma 21 : 6 = 3,5 cm grubości i 28 : 2 = 14 cm długości.
2. Na półce II książki stoją, więc każda zajmuje 3,5 cm szerokości, a nad nimi zostaje miejsce, bo 14 cm to mniej niż 21 cm.
3. Na szerokości półki: 28 : 3,5 = 8 książek.

Odpowiedź: 8

Ile są równe wyrażenia √81 − √49 oraz √144 + √25?

Do wyboru:

• A.2 i 17
• B.2 i 13
• C.√32 i 17
• D.√32 i 13

Pokaż rozwiązanie

1. √81 − √49 = 9 − 7 = 2. Pierwiastka z różnicy nie liczymy — każdy pierwiastek osobno.
2. √144 + √25 = 12 + 5 = 17.

Odpowiedź: 2 i 17

W sadzie rosną grusze i jabłonie. Grusz jest o 40% więcej niż jabłoni, a jabłoni jest o 50 mniej niż grusz.

Ile jabłoni rośnie w tym sadzie?

Do wyboru:

• A.20
• B.30
• C.70
• D.125

Pokaż rozwiązanie

1. Grusz jest o 40% więcej niż jabłoni, więc różnica 50 drzew to 40% liczby jabłoni.
2. 1% to 50 : 40 = 1,25 drzewa, a 100% to 1,25 · 100 = 125.
3. W sadzie rośnie 125 jabłoni.

Odpowiedź: 125

Ile są równe iloraz 10⁸ : 5⁸ oraz iloczyn 2⁶ · 25³?

Do wyboru:

• A.2⁸ i 10⁶
• B.2⁸ i 50⁹
• C.5⁸ i 10⁶
• D.5⁸ i 50⁹

Pokaż rozwiązanie

1. 10⁸ : 5⁸ = (10 : 5)⁸ = 2⁸.
2. 25³ = 5⁶, więc 2⁶ · 25³ = 2⁶ · 5⁶ = 10⁶.

Odpowiedź: 2⁸ i 10⁶

Liczbę x powiększono o 7, a otrzymany wynik zwiększono 4-krotnie. Liczbę y zwiększono 5-krotnie, a otrzymany wynik powiększono o 3. Która para wyrażeń poprawnie opisuje te działania?

Do wyboru:

• A.4(x + 7) oraz 5y + 3
• B.4x + 7 oraz 5y + 3
• C.4(x + 7) oraz 5(y + 3)
• D.4x + 7 oraz 5(y + 3)

Pokaż rozwiązanie

1. Najpierw x + 7, a potem całość razy 4, więc potrzebny jest nawias: 4(x + 7).
2. Najpierw y razy 5, a potem dodajemy 3: 5y + 3.

Odpowiedź: 4(x + 7) oraz 5y + 3

Pewien ostrosłup ma 16 wierzchołków. Ile wierzchołków ma graniastosłup o takiej samej podstawie?

Do wyboru:

• A.17
• B.30
• C.32
• D.45

Pokaż rozwiązanie

1. Ostrosłup ma wierzchołki podstawy i jeden wierzchołek na górze, więc podstawa ma 16 − 1 = 15 wierzchołków.
2. Graniastosłup ma dwie takie podstawy: 2 · 15 = 30 wierzchołków.

Odpowiedź: 30

Na planie miasta wykonanym w skali 1:4000 odległość w linii prostej od przystanku autobusowego Dworzec do przystanku Galeria wynosi 8 cm.

Ile metrów wynosi ta odległość w terenie?

Do wyboru:

• A.320 m
• B.500 m
• C.3200 m
• D.5000 m

Pokaż rozwiązanie

1. 1 cm na planie to 4000 cm w terenie.
2. 8 · 4000 = 32 000 cm, czyli 320 m.

Odpowiedź: 320 m

W urnie jest wyłącznie 18 kul białych i 12 kul czarnych. Losujemy 1 kulę.
Zdanie 1: prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej jest równe 3/5.
Zdanie 2: prawdopodobieństwo wylosowania kuli czarnej jest mniejsze od 1/3.

Które zdania są prawdziwe?

Do wyboru:

• A.oba zdania
• B.tylko zdanie 1
• C.tylko zdanie 2
• D.żadne

Pokaż rozwiązanie

1. Wszystkich kul jest 18 + 12 = 30.
2. Kula biała: 18/30 = 3/5 — zdanie 1 jest prawdziwe.
3. Kula czarna: 12/30 = 2/5, a 2/5 = 6/15 to więcej niż 1/3 = 5/15 — zdanie 2 jest fałszywe.

Odpowiedź: tylko zdanie 1

W prostokącie ABCD punkty E i F są środkami boków BC i CD. Odcinek EC ma długość 6 cm, a odcinek EF ma długość 10 cm. Ile wynosi obwód prostokąta ABCD?

Do wyboru:

• A.64 cm
• B.56 cm
• C.40 cm
• D.28 cm

Pokaż rozwiązanie

1. Trójkąt ECF jest prostokątny: FC² = 10² − 6² = 100 − 36 = 64, więc FC = 8 cm.
2. E i F są środkami boków, więc BC = 2 · 6 = 12 cm, a CD = 2 · 8 = 16 cm.
3. Obwód: 2 · (12 + 16) = 56 cm.

Odpowiedź: 56 cm

Agata na kartce w kratkę narysowała figurę złożoną z 40 połączonych odcinków, ponumerowanych od 1 do 40. Na rysunku jest fragment z ośmioma pierwszymi odcinkami, a kolejne rysowała według tej samej reguły.
Zdanie 1: proste zawierające odcinki 1 i 7 są prostopadłe.
Zdanie 2: proste zawierające odcinki 5 i 33 są równoległe.

Które zdania są prawdziwe?

Do wyboru:

• A.oba zdania
• B.tylko zdanie 1
• C.tylko zdanie 2
• D.żadne

Pokaż rozwiązanie

1. Wzór powtarza się co 4 odcinki: skos w górę, poziomo, skos w dół, poziomo.
2. Odcinek 1 to skos w górę, a odcinek 7 skos w dół, oba po przekątnych kratek — przekątne kwadratu są prostopadłe, więc zdanie 1 jest prawdziwe.
3. 33 = 8 · 4 + 1, więc odcinek 33 wygląda jak odcinek 1, tak samo jak odcinek 5 — są równoległe, zdanie 2 też jest prawdziwe.

Odpowiedź: oba zdania

Na rysunku przedstawiono kwadraty F₁ i F₂ oraz prostokąt F₃ z wymiarami. Czy z tych trzech figur można ułożyć, bez rozcinania, kwadrat o polu 49 cm²?

Do wyboru:

• A.tak
• B.nie
• C.tak, ale bez F₂
• D.tak, ale bez F₃

Pokaż rozwiązanie

1. Suma pól to 25 + 9 + 15 = 49 cm², więc samo pole się zgadza.
2. Ale taki kwadrat ma bok 7 cm, a z boków o długości 5 cm i 3 cm nie da się złożyć 7 cm: 5 + 3 = 8, a 3 + 3 = 6.
3. Dlatego takiego kwadratu nie da się ułożyć.

Odpowiedź: nie

W czworokącie ABCD boki AB, CD i DA mają równe długości, a kąt BCD ma 131°. Przekątna AC dzieli ten czworokąt na trójkąt równoboczny i trójkąt równoramienny.
Zdanie 1: kąt ABC ma miarę 60°.
Zdanie 2: kąt DAB ma miarę 98°.

Które zdania są prawdziwe?

Do wyboru:

• A.oba zdania
• B.tylko zdanie 1
• C.tylko zdanie 2
• D.żadne

Pokaż rozwiązanie

1. Równoboczny jest trójkąt ACD: wtedy AC = AD = AB, a trójkąt ABC jest równoramienny.
2. Kąt ACD ma 60°, więc kąt ACB = 131° − 60° = 71°, a w trójkącie ABC kąt ABC jest mu równy i też ma 71° — zdanie 1 jest fałszywe.
3. Kąt BAC = 180° − 71° − 71° = 38°, więc kąt DAB = 60° + 38° = 98° — zdanie 2 jest prawdziwe.

Odpowiedź: tylko zdanie 2

Cena biletu do teatru jest o 64 zł większa od ceny biletu do kina. Za 4 bilety do teatru i 5 biletów do kina zapłacono łącznie 400 zł.

Ile złotych kosztuje jeden bilet do teatru?

Do wyboru:

• A.16 zł
• B.64 zł
• C.80 zł
• D.96 zł

Pokaż rozwiązanie

1. Bilet do kina kosztuje k zł, a do teatru k + 64 zł.
2. 4 bilety do teatru i 5 do kina: 9k + 256 = 400, więc 9k = 144, a k = 16 zł.
3. Bilet do teatru: 16 + 64 = 80 zł.

Odpowiedź: 80 zł

Pociąg jechał ze stałą prędkością i przebył drogę 700 metrów w czasie 50 sekund. Z tą samą prędkością drogę równą swojej długości przebył w czasie 15 sekund.

Ile metrów długości ma ten pociąg?

Do wyboru:

• A.140 m
• B.210 m
• C.350 m
• D.750 m

Pokaż rozwiązanie

1. Prędkość pociągu: 700 : 50 = 14 m/s.
2. W 15 sekund pociąg przebywa 14 · 15 = 210 m — tyle ma długości.

Odpowiedź: 210 m

W czworokącie ABCD o polu 48 cm² przekątna AC ma długość 8 cm i dzieli go na trójkąty ABC i ACD. Wysokość trójkąta ACD poprowadzona z wierzchołka D do prostej AC ma 2 cm.

Ile centymetrów ma wysokość trójkąta ABC poprowadzona z wierzchołka B do prostej AC?

Do wyboru:

• A.5 cm
• B.6 cm
• C.10 cm
• D.12 cm

Pokaż rozwiązanie

1. Pole trójkąta ACD: 8 · 2 : 2 = 8 cm².
2. Pole trójkąta ABC: 48 − 8 = 40 cm².
3. Wysokość z wierzchołka B: 40 · 2 : 8 = 10 cm.

Odpowiedź: 10 cm

Z pięciu prostopadłościennych klocków o jednakowych wymiarach ułożono figurę. Kształt figury i wybrane wymiary przedstawiono na rysunku.

Ile centymetrów sześciennych ma objętość jednego klocka?

Do wyboru:

• A.115 cm³
• B.225 cm³
• C.450 cm³
• D.2357,5 cm³

Pokaż rozwiązanie

1. Dłuższy bok figury (23 cm) to długość klocka i jeszcze dwie jego szerokości, a 20,5 cm to długość klocka i jedna szerokość — więc szerokość klocka to 23 − 20,5 = 2,5 cm.
2. Długość klocka: 20,5 − 2,5 = 18 cm.
3. Objętość: 5 · 2,5 · 18 = 225 cm³.

Odpowiedź: 225 cm³