Egzamin ósmoklasisty 2022

Wśród uczniów klas ósmych przeprowadzono ankietę z pytaniem: „Jakie filmy oglądasz najchętniej?”. Każdy zaznaczył jedną odpowiedź, a czworo uczniów zaznaczyło odpowiedź „żadne z wymienionych”. Procentowy rozkład odpowiedzi przedstawiono na diagramie.
Zdanie 1: w ankiecie wzięło udział 80 uczniów.
Zdanie 2: filmy fantasy wybrało o 20 uczniów więcej niż filmy przyrodnicze.

Które zdania są prawdziwe?

Do wyboru:

• A.oba zdania
• B.tylko zdanie 1
• C.tylko zdanie 2
• D.żadne

Pokaż rozwiązanie

1. 4 uczniów to 5% ankietowanych, więc wszystkich jest 4 · 20 = 80 — zdanie 1 jest prawdziwe.
2. Fantasy wybrało 40% z 80, czyli 32 uczniów, a przyrodnicze 15% z 80, czyli 12 uczniów.
3. 32 − 12 = 20 — zdanie 2 też jest prawdziwe.

Odpowiedź: oba zdania

Ile jest równa wartość wyrażenia 4²/5 − 3²?

Do wyboru:

• A.−29/5
• B.−22/5
• C.7/5
• D.61/5

Pokaż rozwiązanie

1. 4² = 16 i 3² = 9.
2. 16/5 − 9 = 16/5 − 45/5 = −29/5.

Odpowiedź: −29/5

Spośród wszystkich liczb trzycyfrowych o sumie cyfr równej 6 wybrano liczbę największą i najmniejszą. Ile jest równa suma wybranych liczb?

Do wyboru:

• A.714
• B.705
• C.606
• D.327

Pokaż rozwiązanie

1. Największa liczba trzycyfrowa o sumie cyfr 6 to 600 — cała szóstka na miejscu setek.
2. Najmniejsza to 105: setek co najmniej 1, dziesiątek 0, a reszta w jednościach.
3. Suma: 600 + 105 = 705.

Odpowiedź: 705

Liczba k jest sumą liczb 323 i 160. Czy liczba k jest podzielna przez 3?

Do wyboru:

• A.tak, bo suma cyfr 4, 8 i 3 dzieli się przez 3
• B.tak, bo cyfrą jedności liczby k jest 3
• C.nie, bo 323 i 160 nie dzielą się przez 3
• D.nie, bo k jest liczbą nieparzystą

Pokaż rozwiązanie

1. k = 323 + 160 = 483.
2. Suma cyfr: 4 + 8 + 3 = 15, a 15 dzieli się przez 3, więc 483 też.
3. To, że 323 i 160 osobno nie dzielą się przez 3, niczego nie przesądza — ich suma może się dzielić.

Odpowiedź: tak, bo suma cyfr 4, 8 i 3 dzieli się przez 3

Dane są liczby x = (10³⁰ · 10⁷⁰) : 10, y = (10³)¹⁵ · 10⁶⁰ oraz z = 10⁵⁰ · 10⁸⁰ : 10²⁰. Które z nich są mniejsze od 10¹⁰⁰?

Do wyboru:

• A.tylko x
• B.tylko y
• C.tylko z
• D.wszystkie trzy

Pokaż rozwiązanie

1. x = 10¹⁰⁰ : 10 = 10⁹⁹ — mniejsza od 10¹⁰⁰.
2. y = 10⁴⁵ · 10⁶⁰ = 10¹⁰⁵ — większa.
3. z = 10⁵⁰ · 10⁶⁰ = 10¹¹⁰ — większa.

Odpowiedź: tylko x

Na uszycie 90 jednakowych bluzek w rozmiarze S potrzeba tyle samo materiału, ile na uszycie 60 bluzek w rozmiarze L. Ilość materiału jest proporcjonalna do liczby bluzek.

Na ile bluzek L wystarczy materiał na 240 bluzek S, a na ile bluzek S — materiał na 2 bluzki L?

Do wyboru:

• A.160 L i 3 S
• B.150 L i 3 S
• C.160 L i 5 S
• D.150 L i 5 S

Pokaż rozwiązanie

1. 90 bluzek S to tyle materiału co 60 bluzek L, czyli 3 bluzki S to tyle co 2 bluzki L.
2. 240 bluzek S to 80 razy po 3, więc to tyle co 80 razy po 2 bluzki L: 80 · 2 = 160.
3. Materiał na 2 bluzki L wystarczy na 3 bluzki S.

Odpowiedź: 160 L i 3 S

Dane jest wyrażenie (n⁴ − 3)/6 oraz liczby −3, −1, 0, 1, 3. Dla której z tych liczb wartość wyrażenia jest najmniejsza?

Do wyboru:

• A.−3
• B.−1
• C.0
• D.1
• E.3

Pokaż rozwiązanie

1. n⁴ nigdy nie jest ujemne — to liczba pomnożona przez siebie cztery razy.
2. Najmniejsze n⁴ jest dla n = 0 i wtedy wyrażenie ma wartość (0 − 3)/6 = −1/2.
3. Dla pozostałych liczb n⁴ jest dodatnie, więc wartość wyrażenia jest większa.

Odpowiedź: 0

Między którymi liczbami leży liczba √60?

Do wyboru:

• A.3 i 4
• B.4 i 5
• C.7 i 8
• D.8 i 9

Pokaż rozwiązanie

1. 7² = 49, a 8² = 64.
2. 60 leży między 49 a 64, więc √60 leży między 7 a 8.

Odpowiedź: 7 i 8

Na osi liczbowej zaznaczono punkty P, R i S oraz podano współrzędne punktów P i R. Odcinek PS jest podzielony na 8 równych części. Ile jest równa współrzędna punktu S?

Do wyboru:

• A.10
• B.11
• C.13
• D.15

Pokaż rozwiązanie

1. Od P do R jest 5 części, a różnica współrzędnych to 7 − (−3) = 10.
2. Jedna część to 10 : 5 = 2.
3. S leży 3 części za R: 7 + 3 · 2 = 13.

Odpowiedź: 13

Plik z prezentacją multimedialną Igora ma rozmiar 13 MB. Plik z prezentacją Lidki ma 2,5 raza większy rozmiar.

O ile megabajtów plik Lidki jest większy od pliku Igora?

Do wyboru:

• A.12 MB
• B.19,5 MB
• C.25 MB
• D.32,5 MB

Pokaż rozwiązanie

1. Plik Lidki ma 13 · 2,5 = 32,5 MB.
2. Różnica: 32,5 − 13 = 19,5 MB.

Odpowiedź: 19,5 MB

Ogrodnik kupił ziemię ogrodową, którą zużył w maju, czerwcu i lipcu. W maju zużył 1/3 masy kupionej ziemi, w czerwcu połowę masy ziemi, która została, a na lipiec zostało mu jeszcze 60 kg. Masę kupionej ziemi oznaczamy przez x. Które równanie opisuje tę sytuację?

Do wyboru:

• A.(x − 1/3 x) + 1/2 x = 60
• B.(x − 1/3 x) + 1/2 (x − 1/3 x) = 60
• C.(x − 1/3 x) − 1/2 x = 60
• D.(x − 1/3 x) − 1/2 (x − 1/3 x) = 60

Pokaż rozwiązanie

1. Po maju została ziemia: x − 1/3 x.
2. W czerwcu zużył połowę tego, co zostało, czyli 1/2 (x − 1/3 x) — połowę reszty, a nie połowę całości.
3. Na lipiec zostało 60 kg: (x − 1/3 x) − 1/2 (x − 1/3 x) = 60.

Odpowiedź: (x − 1/3 x) − 1/2 (x − 1/3 x) = 60

Trzy koleżanki kupiły bilety autobusowe w tym samym automacie. Martyna kupiła 6 biletów 75-minutowych i zapłaciła 24 zł. Weronika kupiła 4 bilety 20-minutowe i zapłaciła 12 zł. Ania kupiła 2 bilety 75-minutowe i 2 bilety 20-minutowe.

Ile złotych zapłaciła Ania za bilety?

Do wyboru:

• A.7 zł
• B.14 zł
• C.19 zł
• D.20 zł

Pokaż rozwiązanie

1. Bilet 75-minutowy: 24 : 6 = 4 zł, bilet 20-minutowy: 12 : 4 = 3 zł.
2. Ania: 2 · 4 + 2 · 3 = 8 + 6 = 14 zł.

Odpowiedź: 14 zł

Dany jest trójkąt ABC, w którym kąt BCA ma 35°. Punkt D leży na boku BC, odcinek AD ma taką samą długość jak odcinek BD, a kąt ADC ma 130°. Jaką miarę ma kąt CAB?

Do wyboru:

• A.95°
• B.75°
• C.90°
• D.80°

Pokaż rozwiązanie

1. Kąt ADB = 180° − 130° = 50°.
2. Trójkąt ABD jest równoramienny (AD = BD), więc kąty BAD i ABD są równe: (180° − 50°) : 2 = 65°.
3. W trójkącie ABC: kąt CAB = 180° − 35° − 65° = 80°.

Odpowiedź: 80°

W pudełku było wyłącznie 6 kulek zielonych i 8 kulek niebieskich. Po dołożeniu pewnej liczby kulek zielonych prawdopodobieństwo wylosowania kulki niebieskiej jest równe 1/4.

Ile kulek zielonych dołożono do pudełka?

Do wyboru:

• A.10
• B.16
• C.18
• D.24

Pokaż rozwiązanie

1. Niebieskich jest 8 i to ma być 1/4 wszystkich, więc wszystkich kulek jest 8 · 4 = 32.
2. Zielonych musi być 32 − 8 = 24, a było 6.
3. Dołożono 24 − 6 = 18 kulek zielonych.

Odpowiedź: 18

Na rysunku przedstawiono trapez KLMN zbudowany z trzech jednakowych trójkątów prostokątnych o przyprostokątnych 3 cm i 4 cm.
Zdanie 1: pole trapezu KLMN jest równe 18 cm².
Zdanie 2: obwód trapezu KLMN jest równy 18 cm.

Które zdania są prawdziwe?

Do wyboru:

• A.oba zdania
• B.tylko zdanie 1
• C.tylko zdanie 2
• D.żadne

Pokaż rozwiązanie

1. Jeden trójkąt ma pole 3 · 4 : 2 = 6 cm², więc trapez ma 3 · 6 = 18 cm² — zdanie 1 jest prawdziwe.
2. Przeciwprostokątna trójkąta: 3² + 4² = 9 + 16 = 25, więc ma 5 cm.
3. Obwód: NM = 3 + 3 = 6 cm, KL = 3 cm, KN = 4 cm, LM = 5 cm, razem 6 + 3 + 4 + 5 = 18 cm — zdanie 2 też jest prawdziwe.

Odpowiedź: oba zdania

Do wykonania naszyjnika Hania przygotowała 4 korale srebrne, 8 korali czerwonych i kilka korali zielonych. Ze wszystkich tych korali zrobiła naszyjnik. Zielone korale stanowią 20% wszystkich korali w naszyjniku.

Ile zielonych korali jest w naszyjniku?

Do wyboru:

• A.2
• B.3
• C.4
• D.15

Pokaż rozwiązanie

1. Srebrne i czerwone to 4 + 8 = 12 korali, czyli pozostałe 80% naszyjnika.
2. 1% to 12 : 80 = 0,15 korala, więc cały naszyjnik to 0,15 · 100 = 15 korali.
3. Zielonych jest 15 − 12 = 3.

Odpowiedź: 3

Kierowca przejechał ze stałą prędkością trasę o długości 22,5 km od godziny 7:50 do godziny 8:05.

Z jaką prędkością jechał kierowca, w kilometrach na godzinę?

Do wyboru:

• A.22,5 km/h
• B.45 km/h
• C.90 km/h
• D.150 km/h

Pokaż rozwiązanie

1. Od 7:50 do 8:05 mija 15 minut, czyli 1/4 godziny.
2. W godzinę kierowca przejechałby 4 razy więcej: 22,5 · 4 = 90 km, więc jechał z prędkością 90 km/h.

Odpowiedź: 90 km/h

Dany jest romb ABCD. Obwód tego rombu jest równy 52 cm, a przekątna AC ma długość 24 cm.

Ile centymetrów ma przekątna BD?

Do wyboru:

• A.5 cm
• B.10 cm
• C.13 cm
• D.26 cm

Pokaż rozwiązanie

1. Bok rombu: 52 : 4 = 13 cm. Przekątne rombu przecinają się pod kątem prostym i dzielą na połowy, więc połowa AC to 12 cm.
2. Połowa BD z twierdzenia Pitagorasa: 13² − 12² = 169 − 144 = 25, a √25 = 5 cm.
3. BD = 2 · 5 = 10 cm.

Odpowiedź: 10 cm

Na rysunku przedstawiono siatkę graniastosłupa prawidłowego czworokątnego i zapisano niektóre wymiary tej siatki.

Ile centymetrów sześciennych ma objętość tego graniastosłupa?

Do wyboru:

• A.10 496 cm³
• B.256 cm³
• C.1968 cm³
• D.6400 cm³

Pokaż rozwiązanie

1. 48 cm to trzy boki podstawy, więc bok podstawy ma 48 : 3 = 16 cm.
2. 41 cm to wysokość graniastosłupa i bok podstawy, więc wysokość to 41 − 16 = 25 cm.
3. Objętość: 16 · 16 · 25 = 6400 cm³.

Odpowiedź: 6400 cm³